domingo, 1 de agosto de 2010

OTRA NOCIÓN DE ÁNGULO

Hasta aquí hemos considerado dos definiciones de ángulo:


  • "La porción del plano delimitada por dos semirrectas con origen común"

  • "La intersección o unión de dos semiplanos (convexo o cóncavo respectivamente)"

Cada una de éstas definiciones se aplica en situaciones en las que el ángulo se considera sin posibilidad de movimiento, es decir, estático. Por ejemplo: cuando deseamos calcular la pendiente del techo de una vivienda o la pared de una ochava.


Sin embargo éstas nociones de ángulo resultan insuficientes en otro tipo de situaciones. Por ello analizaremos ahora una nueva noción de ángulo: la dinámica.


Si sobre una hoja en blanco trazamos una semirrecta OA, y tomamos una regla con su filo previamente cargado de témpera. Si apoyamos la regla sobre la semirrecta y la deslizamos suavemente con una amplitud y sentido determinados vamos a obtener un ángulo.

Entonces podemos definir también al ángulo como el conjunto de puntos que "barre" la semirrecta al rotar sobre su origen desde una posición inicial, pudiendo girar más de una vuelta.

La trigonometría surgió hace más de 2000 años cuando los griegos necesitaron resolver problemas prácticos relacionados con la medición de ángulos y lados de triángulos.

Las funciones trigonométricas se utilizan actualmente, entre otras cosas, para realizar modelos de "fenómenos periódicos", que son fenómenos que se repitenen períodos o ciclos, al menos en forma aproximada. Por ejemplo: el día y la noche, las mareas, los latidos del corazón, el movimiento de las cuerdas de un instrumento, la luz.

Estas funciones se aplican en el diseño de aparatos electrónicos e instrumentos de medición relacionados con la medicina.

DEFINICIÓN DE ÁNGULO ORIENTADO Y DE ARCO ORIENTADO

ÁNGULO ORIENTADO
En trigonometría los ángulos se consideran engendrados por una semirrecta que gira alrededor de su origen en uno de los dos sentidos del plano. Por convención se toma como positivo el sentido antihorario y negativo el horario.



ARCO ORIENTADO
Si O es el centro de una circunferencia, la intersección del ángulo AÔB con ésta es un arco AB al cuál se le atribuye el mismo sentido que el ángulo orientado AÔB.


AÔB es positivo, el arco AB es positivo
BÔA es negativo, el arco BA es negativo
ÁNGULOS ORIENTADOS EN UN SISTEMA CARTESIANO
Los ángulos orientados en un sistema de coordenadas tienen como lado origen o primer lado el semieje positivo de las abscisas y el segundo lado o lado extremo estará en alguno de los cuadrantes, o coincidirá con alguno de los otros semiejes (ángulos del 1ro, 2do, 3ero o 4to cuadrante).





Alfa es un ángulo del segundo cuadrante.
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos orientados en un sistema de coordenadas son congruentes cuando tienen el mismo lado origen y el mismo lado extremo. Difiere en un número entero de giros.
â y â + k giros, donde k pertenece al conjunto de los enteros, son ángulos congruentes.

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ORIENTADO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS.

Sea â un ángulo orientado en un sistema de coordenadas y p un punto cualquiera de su lado extremo, distinto del origen. Simbolozamos con d la distancia de p al origen de la coordenadas. Observar que d es siempre un número positivo.



Entonces:



DEFINICIÓN 1: Se llama seno de â al número real que resulta de la división entre la ordenada y el radio vector de un punto cualquiera del lado extremo del ángulo, distinto del origen de coordenadas.

En Símbolos:

sen â = y / d







DEFINICIÓN 2: Se llama coseno de â al número real que resulta de la división entre la abscisa y el radio vector de un punto cualquiera del lado extremo del ángulo, distinto del origen de las coordenadas.

En símbolos:

cos â = x / d


DEFINICIÓN 3: Se llama tangente de â al número real que resulta de la división entre la ordenada y la abscisa de un punto cualquiera del lado extremo del ángulo, distinto del origen de coordenadas.

En símbolos:

tg â = y / x

jueves, 1 de julio de 2010

FUNCIONES RECÍPROCAS

La COTANGENTE de un ángulo es el número recíproco de su tangente.
En símbolos:
cotg â = 1 / tg â = x / y


La SECANTE de un ángulo es el número recíproco de su coseno.
En símbolos:
sec â = 1 / cos â = d / x


La COSECANTE de un ángulo es el número recíproco de su seno.
En símbolos:
cosec â = 1 / sen â = d / y


Las funciones trigonométricas dependen exclusivamente de la amplitud de los ángulos, y son independientes de la unidad de longitud elegida para el sistema de coordenadas.

Observar que el seno y el coseno existen para todo ángulo, pues delta nunca se anula. No ocurre lo mismo con las demás funciones, como por ejemplo:

tg 90º = y / 0 este cociente no tiene resultado numérico, por lo tanto la tangente no existe.